divisibility

Apakah maksud divisibility?

Ada yang akan menjawab kebolehbahagian.
Ada yang tak tahu nak terangkan macam mana.

Macam biasa, kita gunakan strategi permudahkan soalan.

Contoh pernyataan:
"a is divisible by b"

Apa yang dimaksudkan dengan pernyataan di atas?

Sebagai contoh: "4 is divisible by 2"

Bolehkah kita katakan "2 is divisible by 4"?

Jadi bolehkah sesiapa terangkan apa yang membuatkan satu nombor boleh dibahagi nombor yang lain?

Antara definisi yang tepat dan mudah untuk divisibility adalah:
"a is divisible by b" <=> "a/b is an integer".

Ambil satu nombor. Lepas tu kita bahagi dengan nombor yang lain. Jika hasilnya adalah integer, maka kita boleh katakan a boleh dibahagi dengan b.

Latihan:
1. Adakah 9 boleh dibahagi dengan 3?
9/3 = 3, 3 adalah integer, maka ya boleh.

2. Adakah 9 boleh dibahagi dengan -3?
Jika kita tidak tahu apa kriteria sesuatu nombor boleh dibahagi dengan nombor lain kita akan tertanya-tanya boleh ke nombor positif dibahagi dengan nombor negatif?
9/-3 = -3, -3 adalah integer, jawapannya tentu sekali ya.

3. Adakah 0 boleh dibahagi dengan 3?
Sekali lagi kita akan tertanya-tanya. Tengok kriteria dia.
0/3 = 0, 0 adalah integer, jadi ya boleh.

4. Adakah 3 dibahagi dengan 0?
Sebenarnya 3/0 tidak akan memberi jawapan dalam bentuk nombor (dalam kes ini integer) kerana ianya akan jadi undefined, 3/0 adalah illegal operation, kita tidak boleh bahagi nombor dengan zero.
Contoh mudah illegal operation: membunuh mayat.
Macam mana kita nak membunuh mayat padahal mayat tu dah sememangnya dah mati.
Untuk operasi tambah, tolak dan darab ianya tiada masalah.
Kita boleh ambil satu nombor, ditambah dengan satu nombor, kita akan dapat satu nombor yang lain.

Contoh lain:
Kita boleh bahagi 0 epal kepada 3 orang (dengan setiap orang akan mendapat 0 biji epal).
Tetapi kita tidak boleh bahagi 3 biji epal kepada 0 orang kerana ianya illegal operation.
Macam mana kita nak bahagi sesuatu kepada orang yang tidak wujud.

Apakah contoh lain untuk illegal operation?

0^-2

Bagaimana pula dengan 0²?

Bolehkah kita katakan jika "a is divisible by b" maka "b is a factor of a"?
Sebagai contoh "9 is divisible by 3" dan "3 is a factor of 9".

Ini adalah contoh kesilapan fakta yang selalu diajar oleh cikgu kita masa di sekolah dulu.
Sebenarnya tidak. Kerana kriteria di atas benar untuk integer positif.
Jika kita gunakan definisi ini ke atas zero, definisi ini akan jadi tidak benar.

Counter example:
"0 is divisible by 3".
"3 is not a factor of 0".

integer

 

Apakah itu integer? 

Biasanya kita selalu tertanya-tanya dengan persoalan apakah maksud integer.

Agak susah kita nak terangkan kepada orang lain apa itu integer.

Jadi strategi apa yang patut kita guna untuk jawab soalan yang kompleks?

Kita perlu tukar soalan yang kompleks kepada soalan yang mudah.

Nombor apakah yang dikatakan sebagai integer? 

• 1, 2, 3, 4, …

Tapi adakah kita telah senaraikan semua integer?

Adakah integer lain yang belum disenaraikan?

• -1, -2, -3, -4, …

Adakah kita telah senaraikan semua?

Apa lagi integer yang ada?

• 0

Bila kita bercakap mengenai integer, elakkan daripada menganggap yang ianya adalah positif integer, kerana ia mungkin boleh jadi negatif atau zero.

Jangan abaikan kes-kes yang lain.

Integer positif juga mempunyai nama lain dan kita biasanya memanggilnya sebagai natural numbers.